ランダムな現象、運動を記述する数学モデルを与え、その解析を行うのが確率論です。私は確率論とその応用について興味を持っています。ランダムネスを取り入れて考察すべき現象は世の中に非常に多くあり、確率論は解析学の一分野ですが、物理学などの自然科学の各分野や制御理論との関係が特徴的な工学や経済学など様々な分野とも関係します。最近よく触れられる数理ファイナンスは比較的最近の応用例であり、従来、確率論は他分野との関係の中で、理論に現れる固有の問題と合わせて研究をすることにより発展をしてきました。

私は、多様体上のラプラシアンなど２階の楕円型作用素に対応する拡散過程と呼ばれる確率過程について、確率微分方程式など確率解析を用いて、また微分方程式などの解析の力を借りて考察しています。応用としては、微分作用素のスペクトルを調べる問題が挙げられます。その中でも、私は、双曲空間上のセルバーグ跡公式に興味を持ってきました。これは２階の微分作用素であるラプラシアンの固有値と対応する古典力学の関係を記述する等式で、まさに物理学における経路積分を数学的に実行しているように思えます。私は、これまでの結果を正定値行列の空間などに拡張しようとするなど、手を広げようとしています。

数理ファイナンスにおいて、幾何ブラウン運動と呼ばれる、通常のブラウン運動に定数ドリフトを付け指数関数と合成して得られる確率過程を基本的な株価のモデルとして採用するモデルをBlack-Scholesモデルと呼びます。幾何ブラウン運動の時間に関する積分は株価の時間平均を表し、数理ファイナンスにおいて重要です。これと同じ確率過程が双曲空間や正定値行列の空間上の確率を用いた解析に現れます。さらに、ブラウン運動の原点からの距離であるベッセル過程と呼ばれる拡散過程とも深い関係をもち、変形ベッセル関数を用いて種々の解析ができます。逆に、確率過程の解析に現れる量からアイディアを得て、古典的な特殊関数である変形ベッセル関数について調べることもできます。このアイディアは他の確率過程にも適用され、新たな研究を生んでいます。

このように、確率過程を、関係する解析学や幾何学の問題と合わせて研究しています。確率論が中心ですが、私が貢献できそうな問題を幅広く興味をもって探しながら、研究を進めています。
研究室に属する学生は、数学の基礎から始め、確率論に限らず個々が興味をもった問題について学習・研究を進めています。確率論、統計学を基礎とするアクチュアリ数学に関する問題を学習・研究する学生もいます。