実簡約リー群の表現論、特にその無限次元表現の分岐則についての研究を行っています。

群とはある種の操作や変換全体が持つ性質を抽象化した数学的概念です。例えばnを自然数として、1からnまでの数字を入れ替える操作全体は、n次の対称群と呼ばれ、群というものの一つの例となっています。これはこの操作全体が有限個しか存在しないことから、特に有限群と呼ばれるものになっています。

対してリー群は一般に無限群であり、無限個の操作や変換に対応するような数学的概念となっています。例えば、実数全体を加法によって群と思ったものや、あるベクトル空間の可逆な線形変換全体を合成によって群と思ったものなどがリー群の典型例となっています。

このような群を研究する手法として表現というものが存在します。これは抽象的に与えられた群を具体的なベクトル空間Vの線形変換群の部分群として実現することです。このような表現のうちVが無限次元であるときに特に無限次元表現と言います。

例えば上述した実数全体Rを加法によって群と思ったリー群を考えます。実数上の関数に対してそのグラフを考えることができますが、このグラフを平行移動したものも、またある関数のグラフになり、この対応は実数上の関数空間の線形変換を定めます。よって実数上の関数空間をVと書くことにすると、平行移動する幅を対応させることで、Vの線形変換群の部分群としてRを実現することができ、Rの無限次元表現を得ることができます。

より一般に群Gが多様体Xに作用しているときにもX上の関数空間に自然にGが作用します。一般にこの関数空間は無限次元となるので、このようにして群Gの無限次元表現が得られます。

私はリー群の中でも一般線形群GL(n,R)や不定値直交群O(p,q)等を典型例とする実簡約リー群の表現について研究しています。その中でも上記のように、ある多様体Xの上の関数空間として得られるような無限次元表現の分岐則を中心に研究しており、特に表現の分岐の様子がX上の幾何学を反映するような現象に興味を持っています。

より具体的には旗多様体上の軌道分解と誘導表現の重複度との関係を研究しており、一般旗多様体上の場合には軌道の有限性が必ずしも重複度の有限性を含意しないことや、逆に向きづけ可能な軌道が無限個存在する場合には重複度が無限になるような表現が存在することを示しました。